Clase: 04/09/2014
MÉTODO MONTE CARLO
El Método Montecarlo es un método estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.
El método es en realidad una clase de métodos que comparten el siguiente conjunto de características:
El método es en realidad una clase de métodos que comparten el siguiente conjunto de características:
- Define un dominio de entradas posibles
- Generan entradas aleatoriamente en el dominio definido
- Realizan cálculos determinísticos usando las entradas generadas
- Consolidan los resultados de los cálculos individuales en el resultado final.
1. ALGORITMO DE MULTIPLICADOR CONSTANTE:
Es similar al algoritmo de productos medios. La diferencia entre ambos radica en que el algoritmo de productos requieren dos semillas, ambas con D dígitos, además, en lugar de elevarlas al cuadrado las semillas se multiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del dentro, los cuales forman el primer número pseudoaleatorio ri= 0 D dígitos.
2. ALGORITMO DE CUADRADOS MEDIOS:
Este algoritmo no congruencial requiere un número entero detonador (llamado semilla) con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígitos del centro; el primer número ri se determina simplemente anteponiendo el "0." a esos dígitos. Para obtener el segundo ri se sigue el mismo procedimiento, sólo que ahora se elevan al cuadrado los D dígitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer ri. Este método se repite hasta obtener n números ri. A continuación se presentan con más detalle los pasos para generar números con el algoritmo de cuadrados medios.
En comparación con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo mutiplicativo es que implica una operación menos a realizar. Los parámetros de arranque de este algoritmo son X0*a y m, todos los cuales deben ser números enteros y mayores que cero. Para transformar los números X en el intervalo (0,1) se usa la ecuación ri = Xi/(m-1). Las condiciones que deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su máximo periodo son:
m = 2^g
a = 3+8k o a = 5+8k
k = 0,1,2,3,...
X0 debe ser un número impar g debe ser entero,
Para ver el ejercicio realizado en Excel, dar clic aquí.
Este algoritmo requiere una secuencia previa de n números enteros X1, X2, X3, X4,...,Xn para generar una nueva secuencia de números enteros que empieza en Xn+1, Xn+2, Xn+3, Xn+4, ... Su ecuación recursiva es:
Xi = (Xi-1 + Xi-n) mod(m)
Los números ri puede ser generados mediante la ecuación
ri = Xi/(m-1)
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Y0 = X0^2
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3. ALGORITMO DE PRODUCTOS MEDIOS:
La mecánica de generación de números pseudo aleatorios se este algoritmo no congruencial es similar a la del algoritmo de cuarrados medios. La diferencia entre ambos radica en que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con D dígitos; además, en lugar de elevarlas al cuadrado, las semillas se multiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales formarán el primer número pseudo aleatorio ri = 0.D dígitos. Después se elimina una semilla, y la otra se multiplica por el primer número de D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conformarán un segundo número ri. Entonces se elimina la segunda semilla y se multiplican el primer número de D dígitos por el segundo número de D dígitos; del producto se obtiene el tercer número ri. Siempre se irá eliminando el número más antiguo, y el procedimiento se repetirá hasta generar los n números pseudo aleatorios.
Y0 = X0*Xi
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4. ALGORITMO LINEAL:
El algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros por medio de la siguiente ecuación recursiva:
X1+1 = (aX0 + b) mod(m)
donde X0 es la semilla, a es la constante multiplicativa, b es una constante aditiva y m es el módulo; X0 > 0, a > 0, b > 0 y m > 0 deben ser números enteros. La operación "mod m" significa multiplicar Xi por a, sumar b y dividir el resultado entre m para obtener el residuo Xi+1. Es importante señalar que la ecuación recursiva del algoritmo congruancial lineal genera una secuencia de números S = {0,1,2,3,...,m-1}, y que para obtener números pseudo aleatorios en el intervalo (0,1) se requiere la siguiente ecuación:
ri = Xi/(m-1)
5. ALGORITMO CONGRUENCIAL MULTIPLICATIVO:
El algoritmo congruencial multiplicativo surge del algoritmo congruencial linela cuando b = 0. Entonces la ecuación recursiva es:
Y0 = (X0*a) mod(m)
En comparación con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo mutiplicativo es que implica una operación menos a realizar. Los parámetros de arranque de este algoritmo son X0*a y m, todos los cuales deben ser números enteros y mayores que cero. Para transformar los números X en el intervalo (0,1) se usa la ecuación ri = Xi/(m-1). Las condiciones que deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su máximo periodo son:
m = 2^g
a = 3+8k o a = 5+8k
k = 0,1,2,3,...
X0 debe ser un número impar g debe ser entero,
Para ver el ejercicio realizado en Excel, dar clic aquí.
6. ALGORITMO CONGRUENCIAL ADITIVO:
Xi = (Xi-1 + Xi-n) mod(m)
Los números ri puede ser generados mediante la ecuación
ri = Xi/(m-1)
Para ver el ejercicio realizado en Excel, dar clic aquí.
7. ALGORITMO CONGRUENCIAL CUADRÁTICO:
Este algoritmo tiene la siguiente ecuación recursiva:
Y0 = (aXi^2 + bXi + c) mod(m)
En este caso, los números ri pueden ser generados con la ecuación ri = Xi/(m-1). Las condiciones que deben cumplir los parámetros m, a, b y c para alcanzar un periodo máximo de N = m son:
m = 2^g
a debe ser un número par
c debe ser un número impar
g debe ser entero
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ALEATORIOS
Los números aleatorios son utilizados en simulación para generar los valores de cualquier variable aleatoria, es por ello que conocer las propiedades de esos números aleatorios garantiza una buena simulación.
Las propiedades son las siguientes:
1. Prueba de Medias:
La prueba media consiste en determinar el promedio de los n números que contiene el conjunto ri, mediante la siguiente ecuación:
Posteriormente se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:
Límite Inferior:
Límite Superior:
2. Prueba de Varianza:
La prueba de varianza consiste en determinar varianza de los n números que contiene mediante la siguiente ecuación:
3. Prueba Uniformidad:
Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números ri es la uniformidad. Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas tales como las pruebas Chi-cuadrado y de Kolmogorov-Smirnov.
3.1. Chi-cuadrado:
Esta prueba busca determinar si los números del conjunto ri se distribuyen uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el intervalo (0,1), en m subintervalos, en donde es recomendable m = √n. Posteriormente se clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto ri en los m intervalos.
Oi = frecuencia observada
Ei = frecuencia esperada; Ei = n/m
3.2. Kolmogorov-Smirnov:
Esta es una prueba estadística que también nos sirve para determinar si un conjunto ri cumple la propiedad de uniformidad. Es recomendable aplicarla en conjuntos ri pequeños.
1. Prueba de Medias:
La prueba media consiste en determinar el promedio de los n números que contiene el conjunto ri, mediante la siguiente ecuación:
Límite Inferior:
2. Prueba de Varianza:
La prueba de varianza consiste en determinar varianza de los n números que contiene mediante la siguiente ecuación:
Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:
Límite Inferior:
Límite Superior:
Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números ri es la uniformidad. Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas tales como las pruebas Chi-cuadrado y de Kolmogorov-Smirnov.
3.1. Chi-cuadrado:
Esta prueba busca determinar si los números del conjunto ri se distribuyen uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el intervalo (0,1), en m subintervalos, en donde es recomendable m = √n. Posteriormente se clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto ri en los m intervalos.
Ei = frecuencia esperada; Ei = n/m
3.2. Kolmogorov-Smirnov:
Esta es una prueba estadística que también nos sirve para determinar si un conjunto ri cumple la propiedad de uniformidad. Es recomendable aplicarla en conjuntos ri pequeños.
que buen contenido me ayudo bastante
ResponderBorrarMe apoyo la informacion para las dudas que tenia. gracias
ResponderBorrarque buen trabajo saludos,
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